Hepimiz asal sayıları biliyoruz. Peki kaç tane asal sayı var, asal sayıların bir sonu var mı?
İlk 10 sayıda 4 tane yani %40, ilk 100 sayıda 25 tane %25, ilk 1000 sayıda ise 168 tane asal sayı var yani %16,8 tane. Peki oran gitgide azalıyorsa bir yerde 0 olacak mı? Cevap: Hayır olmayacak çünkü asal sayılar sonsuz sayıdadır. Bu yazımızda asal sayıların sonsuz adette olduğunun ispatını yapacağız.
Asal sayıların sonsuz adette olduğunun ispatını ilk yapan kişi Öklid’dir. Öklid bu ispatı M.Ö. 300’lerde “Elemanlar” adlı 13 ciltlik eserine koymuştur. (Kitap Türkçeye Ali Sinan Sertöz tarafından 2019 da çevrilmiştir ve TÜBİTAK yayınlarından çıkmıştır.) Bu ispatın bir diğer önemi de “Olmayana Ergi Metodunun” ilk defa kullanılmış olmasıdır.
İspata geçmeden önce bazı tanımları anlamamız gerekiyor. Mesela asal sayı nedir? Olmayana ergi metodu nedir?
Asal Sayı:
1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1’den büyük doğal sayılardır. Olmayana ergi yöntemi ise bir şeyin doğru olduğunu kanıtlamak yerine yanlış olamayacağını kanıtlamaktır. Yani eğer doğru olduğunu ispatlamak istediğimiz p önermesini ispatlamak zorsa p ' önermesinin yanlış olduğunu ispatlarız.
İspat:
Olmayana ergi metodunu kullanmak için önce ispatlamak istediğimiz şeyin (asal sayılar sosuzdur) tersini varsayıp (asal sayılar sonludur), sonra bu varsayımın olamayacağını keşfetmemiz gerekiyor.
Varsayım:
Asal sayılar sonludur.
Bu sonlu asal sayı kümesinde n tane eleman olduğunu varsayalım. Ve bu kümenin elemanları P1, P2, P3 … Pn şeklinde küçükten büyüğe doğru yazılsın
(P1 =2, P2 =3, P3=5, Pn=En büyük asal sayı gibi). Şimdi bütün asal sayıları çarpalım ve 1 ekleyelim bu sayıya da “K” sayısı diyelim.
K = (P1 . P2 . P3 … Pn ) + 1
Varsayımımıza göre K asal bir sayı olamaz çünkü bütün asal sayıları tanımladık ve yazdık ama K bunların içinde değil. Ve bütün asal sayıları çarpıp eklediğimiz için de bütün asal sayılardan büyük bir sayı. Bu yüzden K asal sayı olmadığına göre en az bir asal sayıya daha bölünmesi gerekir. Çünkü Aritmetiğin Temel Teoremi bize 1’den büyük her doğal sayının birtakım asaların çarpımı şeklinde yazıldığını söyler. Ancak işler burada karışır çünkü yukarıda bahsettiklerimizden dolayı K’nın P1, P2, P3 … Pn sayılarından en az birine tam bölünmesi gerekir. Ama eşitliğe bakacak olursak K’yı hangi asala bölersek bölelim 1 kalanını verecektir. O halde K sayısı ya asaldır ya da Pn ’den büyük birtakım asalların çarpımı şeklinde yazılmaktadır. İki durumda da parantezin içine yazdığımız bütün asal sayılardan farklı en az bir asal sayı olduğunu anlarız. Bu da Pn en büyük asal sayıdır varsayımımızla ÇELİŞİR. Yani asal sayılar SONSUZDUR.
Kaynakça:
Comentarios