Her şey, bundan yaklaşık 2300 sene önce, tarihin en büyük matematikçilerinden biri kabul edilen Öklid’le başladı. Öklid, bugün “Öklid Geometrisi” olarak adlandırdığımız matematiksel sistemin kurucusudur. Öklid’in Elementler kitabı, sistematik yaklaşımı ile matematikçilerde hayranlık uyandırdı ve matematiği aksiyomlaştırma çabası başlattı. Daha önceden “Sonsuz Otel Paradoksu” yazımızda değindiğimiz David Hilbert de bu matematikçilerden biriydi. Bu matematikçiler, matematiği mantığa indirgemek ve “tüm doğru önermeleri içeren” bir matematik sistemi kurmak istiyorlardı. Ta ki Gödel bunun olanaksızlığını gösterene kadar…
1931 yılında bir Alman bilim dergisinde “Üzerinde kesin kararlar veremeyeceğimiz matematik prensipleri ve benzeri sistemler” isimli bir yazı yayınlandı. Bu yazının sahibi, o zaman yalnızca 25 yaşında olan matematik felsefecisi Kurt Gödel’di.
Kurt Gödel
Gödel’in Eksiklik Kanıtı’nda bize anlatmaya çalıştığı şuydu: “Sınırlı bir aksiyomlar kümesiyle başlayan çelişkisiz herhangi bir sistem, sistem içinde kanıtlanamayan ama doğru olan önermeler içermek zorundadır.”
Bu teoremin ana fikri basitçe şuna dayanır: Gödel “Ben kanıtlanamam.” anlamına gelen matematiksel bir tümce yazar. Eğer bu tümcenin kanıtı olursa sistem kendisiyle çelişmiş olur, yani eğer sistem çelişkisizse tümcenin kanıtı olamaz. Bu durumda “Ben kanıtlanamam.” cümlesi doğrudur ancak kanıtlanamaz. Gödel, bu matematiksel cümleyi yazarken doğal sayıları, toplamayı ve çarpmayı kullanarak matematiksel tümce ve kanıtları doğal sayılarla kodlar. Bu kodlama sisteminde her tümce ve kanıtın bir “Gödel sayısı” vardır. İşin ilginç tarafı, bu sisteme ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır yani sistem yine eksik kalacaktır.
Einstein ve Gödel
Aslında Gödel’in Eksiklik Teoremi’nden çıkaracağımız şey şudur: Tüm doğru önermeleri içeren mutlak bir doğruluk sistemi yoktur. Dolayısıyla her sistem bir bakımdan eksik olacak ve yalnızca farklı sistemlerin birlikte göz önünde bulundurulmasıyla gerçeğe ulaşılabilecektir. Bunu daha iyi anlamak için konunun ana fikrine benzer bir örnek verelim:
Elimizde 5 tane sayı olduğunu varsayalım ve bunları içeren bir küme oluşturalım. Örneğin X = {1, 2, 3, 4, 5} olsun. Bu küme üzerinden çıkarım yapmak için de çarpma işlemini kullanalım. X kümesini çarpma işlemi (x) ile kullandığımız zaman matematiksel bir sistem oluşturmuş oluruz. Sayıları önerme kabul ettiğimiz zaman da önermeleri “20 = 4 x 5”, “6 = 2 x 3” gibi ifadelerle ispatlayabileceğimizi görürüz.
O zaman bu küme içinde hesaplayabileceğimiz “sonsuz” sayıda önerme vardır. Evet, ama bu sistem sizce tam mıdır? Örneğin 7 bu kümede ispatlanabilir bir önerme değildir çünkü 7 bir asal sayıdır ve X kümesindeki sayıların çarpımından elde edilemez. Eğer 7’yi bu sistemde ispatlamak istiyorsak X kümesine 7’yi de dâhil etmemiz gerekir. Ancak bu da sistemi tam hale getirmeyecektir çünkü benzer şekilde diğer asal sayılar da ispatlanamaz. Eğer bu sistemin tam olmasını istiyorsak X kümesine tüm asal sayıları eklememiz gerekir fakat sonsuz sayıda asal sayı vardır. Ama bizim en başta belirttiğimiz şey sınırlı (sonlu) bir matematik sisteminin tam olamayacağıydı. İşte bu da Gödel’in kanıtlamaya çalıştığı şeydir.
Gödel’in kuramı, yalnızca matematiksel açıdan değil, felsefi açıdan da anlamı derin olan bir kuramdır. Bu kanıtın; aynı dönemde matematiği tam, eksiksiz hale getirmek isteyen matematikçilerin hayallerini suya düşürmenin yanı sıra matematik dünyasına yeni bir bakış açısı kattığı aşikâr. Matematik Gazetesi olarak da hedefimiz, yalnızca birtakım matematiksel ilkeleri anlatmak değil, aynı zamanda matematikte her zaman farklı bir bakış açısının olduğunu göstermek. Bunu elimizden geldiğince kısa ve öz şekilde sunmaya çalışırken tüm okurlara bu konularda daha detaylı araştırma yapmalarını tavsiye ediyoruz.
Sorgulama ilkesini hayatınızın merkezine getirmeniz ve matematiğe olan merakınızın asla bitmemesi dileğiyle.
Kaynakça:
♦ Ali Nesin, Sezgisel Kümeler Kuramı, sf. 295-299
♦ Ali Bilge Öztürk, Kurt Gödel’in Eksiklik Teoremleri ve Platonculuğu Üzerine Felsefi Bir İnceleme
Comments