Bu tip işlemlerle internette sık karşılaşıyoruz! Matematiğe uzak biri için bu işlemler müthiş bir illüzyon iken matematik ile uğraşanlar için hatalı bir işlemin sonucundan başka bir şey değildir.
Bu işlemleri anlamasanız bile başı ve sonuna bakmanız sizin için şaşırtıcı olabilir! Fakat sizi hayal kırıklığına uğratacağız ama matematik affetmez! 3.adımda yapılan sadeleştirme işlemi (a – b) = 0 olduğu için yapılamaz. Yani sonuç hatalı!
Madem şaşırmak istiyorsunuz Matematik Gazetesi bu isteğinizi yerine getirsin. Sizi Grandi Serilerinin şaşırtıcılığına davet ediyoruz…
Basit görünüşlü olmasına rağmen şu seriye bir bakın lütfen,
A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…
Matematikte buna sonsuz seri denir. Peki bu sonsuz serideki tüm işlemleri yaparsanız sonuç sizce kaç olur?
Evet sıfır dediğinizi duyar gibiyiz, haksız da değil gibisiniz. (Bu arada sıfır postumuzu okumanızı tavsiye ederiz.)
A = (1 – 1)+(1 – 1)+(1 – 1)+(1 – 1)+…= 0
Şeklinde bir gruplama yaparsanız sonuç kesinlikle sıfırdır.
Peki bu sonsuz seri için işlemi bir de şöyle gruplayarak yapalım bakalım sonuç için kaç diyeceksiniz?
A = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1)+… =1 + 0 = 1
Eeee bu sefer parantez içleri sıfır oldu ve işlemin sonucu 1 çıktı! Sıfır bire eşit olmadığına göre durum karışık görünüyor.
Ya işlemi şöyle yaparsak;
A = 1 – ( 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…)
A = 1 – A => 2.A = 1 => A = 1/2
Ortalık iyice karıştı, alın size illüzyon bir işlemin sonucu hem 0 hem 1 hem de 1/2 çıktı.
Kafanız iyice karıştı değil mi? Kafa karışıklığınıza neden olan bu serilere Grandi Serileri deniyor. Bu serileri, 1671-1742 yılları arasında yaşayan İtalyan keşiş, rahip, filozof, matematikçi ve mühendis Guido Grandi oluşturmuştur. Tabi o dönemde sonsuz terimlilerle yani serilerle işlem yapmak hiç kolay değildi. Hatta yapılan bu paranteze alma işlemleri doğru işlemler mi bu bile tartışmalıydı.
Bu tarz paradoksların çözümü için matematik aleminin sonsuzluk kavramının da kullanılabileceği bir işleme ihtiyacı vardı.
Guido Grandi
Yani limit işlemine! Tabii ki sonsuzluk üzerine kafa yoran dünyanın farklı yerlerine dağılmış matematikçiler vardı. Bu matematikçilerin dağınıklığını toparlayarak bir teoriye dönüştüren 1845 te doğan F.L.Philipp Cantor’un ortaya koyduğu Kümeler Teorisi ve sonsuzluk kavramı sayesinde yapılan işlemlerin anlaşılması ve gelişmesi hızlandı.
Bu bilgi birikimi sayesinde matematikçiler, sonsuz serilerle bu kadar kolay işlem yapılamayacağını ve paranteze almanın doğru bir işlem olamadığını gördüler.
Grandi serileri için şöyle bir yaklaşımda bulunulabilir mi?
Eğer serinin son teriminin -1 ya da +1 olduğunu bilmek işlemin sonucunu bulmamızı sağlar mı?
Düşünmenize şu soruyla da katkıda bulunalım; Sonsuzun sayısal bir değeri olmadığı için hangi değere 1 eklemeyi ya da 1 çıkarmayı düşünüyorsunuz?
O zaman sizi, Hibert’in Sonsuz Odalı Oteli postumuzu okumaya davet ediyoruz.
David Hilbert
Lafı çok uzatmadan cevabı verelim. Bu tür serilerin elemanlarının toplamı belli bir sayıya yakınsamayan yani ıraksak seriler olarak bilinir. Kısacası Grandi Serisinin ıraksak bir seri olduğunu ve elemanlarının toplamının sonucunun bulunamayacağını ifade ederek bu illüzyonu bitirelim…
Kaynakça:
Paul Hoffman/ “Yalnızca Sayıları Seven Adam”/nika yayınevi
Commenti