Mersenne asallarını ilk defa tanımlayan ve kendi ismini veren matematikçi Marin Mersenne, 1648 yılında yayımladığı kitabında oldukça kısa bir yer kaplayan bu sayıların kendisinden neredeyse dört yüzyıl sonra internetin en büyük işlem gücü paylaşımı temelli projelerinden birine yol açacağından habersizdi.
Marin Mersenne
2^n-1 şeklinde yazılabilen asal sayılar olarak tanımlanan Mersenne asalları, anlaşılır gösterimlerine rağmen en nadir asal türlerinden birisi. Şu ana kadar yalnızca 51 tanesi keşfedilen bu sayıları aramak için 2’nin yaklaşık 105 milyonuncu kuvvetine kadar bakılmış.
İlk 4 Mersenne asalı, Antik Yunan matematikçilerinin keşfettiği asallar listesinde yer alıyor: 3, 7, 31 ve 21. Ancak buradan sonra liste fazlasıyla karmaşıklaşmakta. Aralarında Euler’in de bulunduğu bir takım matematikçi, üç yüzyılı kapsayan büyük uğraşlar ve elle yaptıkları hesaplamalar sonucu bu listeyi sadece 8 sayı kadar genişletebilmiş: 2’nin 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 ve 127’inci katlarının birer eksikleri. Daha sonrasında bilgisayarın ve o zamana kıyasla gelişmiş hesaplama algoritmalarının geliştirilmesiyle küçük bir Mersenne asalı devrimi yaşanmış ve ilk 35 Mersenne asalı listede yerini almış. İçinde bilinen en büyük asalın (2^82,589,933 -1) bulunduğu diğer 17 sayının keşfini ise GIMPS’e, yani çevirisiyle, Büyük İnternet Mersenne Asalı Araştırması’na borçluyuz.
Peki, GIMPS nedir ve nasıl işler? Aslında bir “distributed computing” yani dağıtılmış hesaplama projesi olarak adlandırıyor ve dünya çapında birçok bilgisayar bir sonraki Mersenne asalını aramak için iş bölümü yapmak koşuluyla bu projede birleşiyor. 1996’da George Woltman tarafından başlatıldığında henüz yavaş işleyen sistemde bilgisayar sahipleri hesaplama sonuçlarını tek tek email aracılığıyla ana merkeze göndermek ve yeni görevlerinin kendilerine iletilmesini beklemek zorunda kalıyorlarmış. Bugünse programın arka planda çalışıyor durumda bulunması yeterli, bütün görevlendirme, bilgilendirme ve hesaplamalar otomatik olarak işliyor.
George Woltman
Sistemin çalışma prensiplerine biraz daha yakından bakıldığında iki temel problem üzerinde durulduğu görülüyor: Mersenne asallarının doğru bir şekilde saptanması ve bunu sağlayacak hesaplamaların optimum şekilde gerçekleşmesi için gereken ideal iş bölümünün sağlanması. İlki için matematikçiler oldukça etkili sistemler geliştirmişler bile: Çarpanlarına ayırmadan tutun da P-1 metodu, Lucas-Lehmer asallık ya da Fermat olası asal testleri ve matematikçi Gerbicz’in son moda yöntemlerine kadar pek çok hesaplama yolu mevcut. Özellikle yeni geliştirilen yöntemlerde bulunan sayının gerçekten bir Mersenne asalı olması olasılığı %99,999’dan bile fazla, buna rağmen ikinin bütün kuvvetleri daima sistem hataları veya sahte cevaplara karşı iki kere kontrol ediliyor. 105 milyonuncu kuvvete kadar tek kontrol tamamlanmışken 58 milyona kadar olan kuvvetler iki kez kontrol edilmiş bulunuyor. Bu işlemlerin en verimli şekilde gerçekleşmesi içinse görev atanılacak bilgisayarların işlemci gücüne ve “kullanıcı profilinin güvenilirliğine” bakılıyor. Yüksek kapasiteli bilgisayarlara ilk testler verilirken laptoplar gibi daha yaygın ancak yine de işlevli bilgisayarlara kontrol etme görevi veriliyor, eski model ve güç işleyen bilgisayarların nasibine de en ilkel hesaplamalar ya da denetimsel görevler düşüyor. Önem ve zorluğuna bağlı olarak bütün görevlerin 30 ila 360 gün arasında değişen teslim tarihleri var. Ancak sistemin belki de en önemli kriteri, en kısa sürede en çok işi tamamlayan bilgisayarlara daha çok “güvenerek” daha kritik görevleri ataması.
Burada bir soru doğuyor: Mersenne asallarının tüm bu hesaplamalar için doğru asallar olduğunu nasıl bilebiliriz? Neden 2^n-3 ya da 2^n+1 olarak tanımlanabilecek başka bir asal türünü değil de Mersenne’leri arıyoruz? Görünen o ki ünlü matematikçi Euler ve Fermat sizden çok çok önce bu soruları sormuşlar ve sırasıyla 2^n+1 ve 2^2^n-1 şeklinde iki yeni asal türü tanımlamışlar. Özellikle Fermat’ın tanımı oldukça zeki, çünkü 2^2^n-1’in asal olması için n’in ikinin bir katı olması gerektiğini kanıtlamış, ki bu bakılması gereken kuvvetleri yarıya indirmek demek. Ancak zamanın ve matematiğin gösterdiği üzere bu tanımlar Mersenne’inki kadar etkili olamamış ve beş haneli kuvvetlerde elenmiş.
Pierre de Fermat
Şimdi, tüm bunları öğrendiğimize göre, bir anlamlandırma aşamasına girebiliriz. Bir sonraki Mersenne asalını ve beraberinde bilinen en büyük asalı bulmak neden bu kadar önemli, bulduğumuz bu sayı bizim “ne işimize yarayacak”? Bu kadar çaba niye?
Mersenne asallarının aslında gündelik hayatta pek bir işlevleri yok. Bilgisayar programlamada ve kripto sistemlerde oldukça kısıtlı birkaç kullanım hariç neredeyse tamamen matematiksel uğraşlara hizmet ettiklerini söyleyebiliriz. Örneğin her Mersenne asalının bizi direkt olarak bir mükemmel sayıya, yani pozitif bölenlerinin toplamı olan sayılara götürdüğünü biliyoruz ama bunun neden olduğuna dair kesin bir görüş yok. Öklid-Euler Teoremi bu bağlantıyı açıklıyor gözükmekte ve Mersenne asalları üzerine yapılan çalışmalar bu teoriyi kanıtlayabilir. Bunların haricinde ise, en büyük asal arayışı kült bir uğraştan ibaret gözükmekte.
Oysa bu çalışmaya yalnızca pragmatik bir lensten bakmak onun en önemli yönlerini gözden kaçırmak demek, çünkü GIMPS projesinin temelinde yatan güdümler bizi ilk defa doğayı keşfetmeye ve sayılarla uğraşmaya itenlerden çok da farklı değil. Bugünümüzü şekillendiren Antik Yunan matematiğini Mısır ve Babillilerinkinden ayıran, ileri taşıyan etmen onu gerçek hayattan ayırıp kendisi uğruna incelemeleri, daha fazlasını bilme ve olasılıkları en sonuna kadar götürme yolundaki istikrarlıkları değil miydi? Öyleyse diyebiliriz ki GIMPS tüm bu insani değerlerin teknolojiyle güçlenişini, beklentilerle bezenmiş çağımıza rağmen, sırf yapmış olmak için yapmak heyecanını paylaşan bir gezegen dolusu insanın benci düşüncelerinden sıyrılıp ancak bizim göremeyeceğimiz yüzyıllarda anlamlanabilecek bilgi türlerini gün ışığına çıkarma serüvenine atılışını temsil eden devasa bir arayış; daima daha fazlasını aydınlatmak isteyen insanın sonsuzluğa uzanan bilinmezleri eritme çabasında atılan içten bir adımdır.
Eğer siz de bu projenin bir parçası olmak istiyorsanız GIMPS’in www.mersenne.org adresli resmi sitesinden gelişmeleri takip edebilir, Prime95 adlı programı indirerek bir sonraki en büyük asalı aramaya yardımcı olabilirsiniz.
Kaynakça:
Comments