Monty Hall Problemi: Araba Hangi Kapıda?
- Ece BALDEMİR
- 14 May 2021
- 4 dakikada okunur
Bugün sizlere pazar bulmacasında da sorduğumuz Monty Hall problemini anlatıyoruz. Öncelikle bulmacada doğru cevap verenleri tebrik ederiz, arabayı kazandınız! Şimdi doğru cevabın çözümünü merak edenleri yazının devamını okumaya davet ediyoruz, iyi okumalar!
Pazar bulmacamızı görmeyenler için problemi kısaca anlatayım: Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirir misiniz yoksa 1. kapıda mı kalırsınız?
Eğer 2. kapıyı seçtiyseniz tebrikler, arabayı kazandınız! Peki, neden doğru cevap 1.kapı değildi?
(Yarışmanın sunucusu Monty Hall)
Şimdi bu problemin çıktığı zamanlara bir yolculuk yapalım. Monty Hall problemi, Amerikan TV yarışma programı Let's Make a Deal'a dayanan bir olasılık bulmacasıdır. Problem adını, yarışmanın sunucusu Monty Hall'dan alır. İçinde bir paradoksu da barındırması nedeniyle Monty Hall paradoksu olarak da anılan problemin sonucu saçma görünmekle birlikte, ispatlanabilir ve doğrudur. Şimdi fazla uzatmadan gelelim hepimizin merak ettiği çözüme!
Bu problemin çözümü şu şekildedir: Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 3 kapı olduğundan 1/3'tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3'tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır. Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3'tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.
Yukarıdaki diyagram seçimini değiştiren bir yarışmacının her zaman ilk seçiminin tam tersini elde edeceğini gösterir ve bu seçimin keçi olma olasılığı araba olma olasılığının iki katı olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman avantajlıdır. Diğer deyişle, önce keçiyi seçmiş olma olasılığı 2/3, arabayı seçmiş olma olasılığı ise 1/3'tür. Monty Hall artık "keçili kapıyı" ortadan kaldırdıktan sonra, baştan ardında keçi olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının arabayı kazanması, baştan ardında araba olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının ise keçiyi "kazanması" gerekir. Yarışmacının baştan keçiyi seçmiş olma olasılığı 2/3 olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman yararına olacaktır. Keith Devlin’in sözleriyle aslında "Kapıyı açarak Monty yarışmacıya şunu söylemektedir: 'Seçmediğiniz iki kapı var ve ödülün bunlardan birinin ardında olma olasılığı 2/3. Ödülün nerede olduğunu bildiğimden bu iki kapıdan birini açarak ardında ödül bulunmadığını gösterecek ve size yardım edeceğim. Artık bu ek bilgiden yararlanabilirsiniz. Seçtiğiniz A kapısı 3'te 1 olasılıkla kazanandır. Bunu değiştirmiş olmuyorum.
Ancak C'yi eleyerek size, B'nin 3'te 2 olasılıkla ödülü sakladığını göstermiş oluyorum.” Eğer kafanıza neden 1/2 ihtimal değil de 2/3 ihtimalin olduğu takıldıysa bunun nedenini açıklayayım. Buradaki kritik nokta Monty'nin bir kapıyı rastgele seçmediğidir, yarışmacı tercihini yaptığında Monty içinde keçi olduğunu bildiği bir kapıyı seçer. Bunun anlamı Monty'nin seçiminin, başlangıçta arabanın yarışmacının kapısının ardında olma olasılığını etkilemeyeceğidir. Yarışmacıya kapıyı değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda, hâlâ başlangıçta arabalı kapı seçilme olasılığı 3'te 1 ve keçili kapı seçilme olasılığı 3'te 2'dir. Ancak şimdi Monty diğer kapılardan birini açar ve açtığı kapıda araba bulunamaz, yani yarışmacının kapısında keçi bulunma olasılığı 3'te 2 ve kalan kapıda araba olma olasılığı da 3'te 2'dir.
Bu Monty'nin kapısını rastgele seçmesi ve arabayı açığa çıkarması ihtimalinin var olmasından farklı bir senaryodur. Bu durumda keçinin açığa çıkması, yarışmacının başlangıç seçiminin araba olması olasılığını 2'de 1'e yükseltecektir. Bu farklılık orijinal problemin, Vos Savant'ın 2006 Kasım'ındaki köşesinde görülen değiştirilmiş versiyonu ile karşılaştırılması ile ispatlanabilir. Bu versiyonda Monty Hall hangi kapıda arabanın saklandığını unutur. Kapılardan birini rastgele seçer ve keçi açığa çıktığında rahatlar. Yarışmacıya kapısını değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda Vos Savant doğru bir şekilde yanıtlar "Eğer sunucu bilmiyorsa, değiştirmeniz ya da değiştirmemeniz hiçbir şey fark ettirmez. Eğer sunucu biliyorsa değiştirin"
Peki, eğer kapı sayısı artırılsa ne olurdu?Aynı problemde kapıların sayısının üç yerine 1.000.000 olduğunu düşünmek, çözümü kavramayı kolaylaştırabilir. Bu durumda ardında keçi olan 999.999 kapı ve ödül bulunan bir kapı olur. Yarışmacı bir kapıyı seçer. Daha sonra sunucu diğer 999.998 kapıyı açarak keçileri gösterir - sunucunun ilk kapıdan başlayarak 1.000.000 kapılık sırayı takip ettiğini, her birini açtığını, yalnızca yarışmacının seçtiği kapı ile başka bir kapıyı daha atladığını düşünelim. Ardından sunucu yarışmacıya açılmamış diğer kapıyı seçme şansı olduğunu söyler. Ortalama 1.000.000'da 999.999 olasılıkla diğer kapı ödüle açılır, zira 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacının ilk seçtiği kapının ardında keçi vardır.
Akılcı bir yarışmacı kapıyı değiştirmelidir. Sezgisel bakılırsa, yarışmacı, bir milyon kapı içinden doğru olanı seçmeyi başarma olasılığını sorgulamalıdır. Örnek, seçimi değiştirerek başarı sağlama olasılığının (1 eksi ilk seçimde doğru kapıyı seçme olasılığı) her sayıda kapı için eşit olduğunu ortaya koymak için de kullanılabilir. Ancak unutulmamalı ki, bu örnek, sunucunun ödülün nerede olduğunu bildiği varsayımına ve ödülü saklayan kapıyı açmaması gereğine dayanır. Eğer yarışmacı ilk seçiminde ödülü saklayan kapıyı bulmayı başarmışsa, sunucu açmayacağı diğer kapıyı rastgele seçer.
Bu örnek, sunucunun ödülün yerini bilmediği ve kapıları rastgele açtığı tam tersi bir durumu açıklamakta da kullanılabilir. 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacı en başta yanlış kapıyı seçecektir, ödül diğer kapılardan birinin ardındadır. Eğer sunucu ödülün yerini bilmeksizin kapıları rastgele açıyorsa, aralarında yeni bir seçim yapılacak son iki kapıya (yarışmacının seçimi ile diğer kapı) gelmeden, büyük olasılıkla ödülü saklayan kapıyı açacaktır. Bu durum bir başka yarışma programı olan Deal or No Deal'a benzer. Bu programda yarışmacı numaralandırılmış bir çantayı seçer ve daha sonra diğerlerini her defasında bir tane olmak üzere açar.
Stibel ve diğerleri çalışan zihin talebinin Monty Hall problemi sırasında zorlandığını ve bunun, insanların seçimlerinin iki eşit olasılıklı seçeneğe dönüşerek çökmesine yol açtığını öne sürdü. Ayrıca seçeneklerin (kapıların) sayısının yedinin üzerine çıkmasının insanlardaki seçimi değiştirme eğilimini artırdığını; ancak, yine de çoğunluğun hâlâ başarı şansını hatalı olarak yarı yarıya gördüğünü ortaya koydu.
Kafanızın karışması normal çünkü problemin yukarıdaki açıklaması ve çözümü Parade'de yer aldığı zaman, aralarında doktora derecesi olan yaklaşık bin kişinin bulunduğu on bin okur, dergiye yazarak çözümün yanlış olduğunu iddia etti. Bazı eleştirmenler problemin Parade versiyonunda sunucunun davranışının belli açılardan iyi şekilde açıklanmadığını; örneğin sunucunun bir kapıyı açıp böyle bir öneri yapıp yapamayacağının bilinmediğini belirtti.
Öte yandan, bu gibi olası davranışların söz konusu tartışmayla bir ilgisi yoktur ya da probleme etkisi çok azdır ve bu davranış yazar tarafından açıkça belirtilmiştir. Problemin daha genel yorumları, örneğin bazı durumlarda sunucunun ardında araba olan kapıyı açabileceği, matematik eserlerinde tartışılmıştır. Umarız aklınızdaki soru işaretlerini giderebilmişimdir ve bilgilendirici bir yazı olmuştur. Bizimle kalın!
Kaynakça:
Comments