Russell Paradoksu

(Yazımızı okumaya başlamadan teknik bir nedenden dolayı bir gösterim ile ilgili uyarıda bulunmak istiyoruz yazıda kullandığımız € gösterimi elemanı olma, €' elemanı olmamama anlamına gelmektedir. )

Uzun süreden sonra yine bir paradoks yazısıyla karşınızdayız. Bugün sizlere İngiliz filozof, matematikçi, tarihçi ve toplum eleştirmeni Bertrand Russell tarafından fark edilen “RussellParadoksu”nu anlatacağız. Bu paradoks, çoğumuzun liseden aşina olduğu küme kavramını kullandığımız tanıma ulaştırmıştır.

Paradoksa geçmeden önce biraz Bertrand Russell’den bahsetmek istiyorum. Kendisi 1. Dünya savaşı sırasında önde gelen savaş karşıtlarındandır. Barışsever tutumu ve insan haklarını ve özgürlüklerini savunduğu yazıları dolayısıyla 1950 yılında Nobel Edebiyat Ödülü’ne layık görülmüştür.

Russell Paradoksu’nun çıkış hikâyesi ise kolay gibi görünen şu sorudur: Uçan ineklerin oluşturduğu bir sürü var mı? Cevap basit diyebilirsiniz. Tabi ki böyle bir inek olmadığı için böyle bir sürü de yoktur. Ya yanılıyorsanız! Şimdiye kadar yaşamış ineklerin uçmadığını görmüş olmanız bundan sonra da ineklerin uçmayacağı anlamına mı gelir? Kafanız mı karıştı? Gelin Russell’e kulak verelim.

19. yüzyılın sonlarına dek matematikçiler gördükleri her şeyi küme olarak değerlendirdiler. Bir nesnenin küme olabilmesi için birtakım koşulların gerektiği bilinmiyordu. Şimdilik biz de kümeyi “herhangi bir nesneler topluluğu” olarak kabul edelim ve paradoksu anlatmaya başlayalım.

Eğer a, A kümesinin bir elemanıysa bu a € A olarak gösterilir.

Eğer a, A kümesinin bir elemanı değilse a €' A ’dır.

Örneğin doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, 3, 4…} ise 17 € N ve 3/7 €' N olacaktır.

Şimdi eğer

A: Tüm kümeleri kapsayan küme

N: Doğal sayılar kümesi

2N: Çift doğal sayılar kümesi

X: Herhangi bir küme

olarak kabul edilirse, N € A, 2N € A, X € A diyebiliriz. A da bir küme olduğundan A € A olacaktır. Bu A kendi kendisinin bir elemanı anlamına geliyor. Ama N kendi kendisinin bir elemanı değildir çünkü N kümesinin elemanları doğal sayılardır ve N bir doğal sayı değildir. Demek ki N €' N.

Şimdi de A kümesinin “kendini içermeyen elemanlardan oluşan” bir altkümesini oluşturup buna B diyelim ve buradaki durumu gözlemleyelim.

B: Kendini içermeyen kümeler kümesi

olsun. Bu durumda X €' X ise X € B olur. Buraya kadar tamam.

Peki sizce bu durumda B kümesi, B’nin elemanı mıdır? Başka bir deyişle, B kendi kendisinin bir elemanı mıdır?

İlk olarak B’nin kendi kendisinin elemanı olduğunu kabul edelim. Bu durumda

B € B. Fakat bu doğru olamaz çünkü B kümesi kendisinin elemanı olan kümeleri içine almıyor.

B’nin kendi kendisinin elemanı olmadığını kabul edersek ne olacağına bakalım. Bu durumda B €' B. Ama B’nin tanımına göre bir eleman kendi kendisinin elemanı değilse B kümesi içinde yer almalı. O zaman B Ï B de doğru olamaz.

İşte burada elde ettiğimiz çelişki Russell Paradoksu olarak bilinir. “Bu çelişki nasıl ortadan kalktı?” diye soruyor olabilirsiniz. Bunun için Kümeler Kuramı’nı daha sağlam temellere oturtmak gerekmiştir.

Böylece küme kavramı; “belirli nesneler topluluğu” tanımından şimdi kullanılan hali olan “iyi tanımlanmış nesneler topluluğu” tanımına geçilerek değiştirilmiştir. Bu sayede çelişki de ortadan kalkmıştır. Bu da matematikteki çelişkilerin matematiği zayıflatmadığını aksine onu güçlendirdiğini gösterir aslında.

Matematikle kalmanız dileğiyle…