Zeno, İtalya'nın güneybatısındaki bir kent olan Elea'da (Velia) Milattan Önce 490-430 yılları arasında yaşamış Yunan filozoftur. Zaman ve hareket üzerine ortaya koyduğu bir dizi paradoks, bilim insanlarını, matematikçileri ve filozofları uzun yıllardır meşgul etmektedir.
(Zeno)
İyonyalı filozoflar “maddenin başlangıç prensibi” nin peşindeydi. Thales, bu prensibin suyun içinde olduğunu düşünmüştü. Pisagorcular soyut bir yolu tercih ederek maddenin çoğulcu bir mantıkla oluştuğunu varsayarak sayı sistemini kullanmıştır. Bu sayısal atomculuğa Elealı Parmenides (M.Ö 450) ve onu
(Paradoks)
izleyenler (Eleatikler) karşı çıkmışlardır. Eleaktikler, varoluşun sürekliliğini göstermek için çabalamış fakat bu çabalar Pisagorcuların değişim ve çeşitlilik düşünceleri ile taban tabana zıttır.
(Pisagor)
Parmenides’in en ünlü öğrencisi Zeno, diyalektik yöntemleri ve bölünebilme kavramını kullanarak ortaya koyduğu paradokslarla Pisagorcuların değişim ve çeşitlilik kavramlarında bulunan bakış açısındaki tutarsızlıkları ortaya koymuştur. Pisagorcular zaman ve mekanı belli bir anda belli bir yerde bulunan noktalar olarak tanımlarlar bu bakış açısı sürekliliği bozar. Zaman ve mekanın duygularla algılandığı düşüncesi bu kavramlara süreklilik kazandırmaktadır.
(Parmenides)
Aristotales, Pisagor’un zaman ve mekan üzerine kurgusundaki noktayı “belli bir konuma oturmuş birim” ya da “mekanla ilişkili birim” olarak tanımlar. İşte tam da bu noktada olay patlak veriyor. Zeno bu sürekli olmayan bakış açısına karşı çıkıyor ve Bölünme, Aşil İkilemi, Ok İkilemi, Evre İkilemi paradokslarını ortaya saçıyor. Bu paradokslar sanki aynı şeyleri farklı öykülerle ifade ediyor. Dikkatli okuyucu için ise farklı anlam ve sonuçları işaret edebilir… Biz bu postumuzda sadece ilk ikisini ele alacağız.
(Aristoteles)
BÖLÜNME PARADOKSUNA göre, belli iki nokta arasında koşacak bir atlet koşmayı planladığı yolun önce yarısını, yarısını gitmeden önce dörtte birini, dörtte birini gitmeden önce sekizde birini, sekizde birini gitmeden önce on altıda birini,... gitmesi gerektiğinin farkına varır ise bu koşu sizce başlayabilir mi?
Atlet koşuya başlamadan önce sonsuz sayıda hesap yapmalı ve bu hesapları bitiremeyeceği için de bu koşunun ilk adımını atıp bu koşuya başlayamayacaktır. Dolayısıyla planladığı koşuyu yapamadığı için hedeflediği noktaya ulaşamayacaktır.
AŞİL İKİLEMİ, Aşil’in avans verdiği bir kaplumbağa ile arasındaki yarış üzerinedir. Bu paradoksta, yapılan işlemler Bölünme Paradoksundaki işlemlere benzer fakat hesaplamalar geriye doğru değil ileriye doğrudur. Aşil ile kaplumbağa aynı anda harekete başlar, Aşil aralarındaki mesafenin önce yarısını, sonra kalan yolun yarısını ve kalan yolun yarısını olmak üzere hareket eder. Geldiği her noktada önündeki yolun yarısını hesaplayarak harekete devam eder. Aşil bir noktaya geldiğinde kaplumbağa az da olsa ilerleyerek başka bir noktaya gelecek ve AŞil’in önünde hep bir sonsuz bölme işlemi yapacak küçük de olsa bir parça yol kalacaktır. Aşil, kaplumbağaya hiç yetişemeyecek ve yarışı kazanamayacaktır.
(Aşil ve Kaplumbağa)
Bölünme ve Aşil İkilemlerinde sorun nerede sizce? Matematiksel uzayda yapılan her işlemin mekânsal uzayda karşılığı var mı? Bu iki paradoksa göre zaman ve mekan giderek küçülerek sonsuz küçük parçalara ulaşılabilmektedir. Peki dünya üzerinde hareket edebileceğimiz en küçük parçanın büyüklüğü nedir? Bu iki paradoksta da zaman ve mekan bölünebilirliği son bağlamda bizi bölünmezliğe götürmez mi? Sokak röportajı yaptığınız birine bu paradoksları sorduğunuzda iki nokta belirleyip yürüyerek bir noktadan bir noktaya vararak size absürt bir ispat yapar ve sonunda da e hani vara mı yorduk? Diye dalga geçebilir. Keza Diyojen’in böyle bir çözüm önerdiği söylenir.
Peki bu paradokslara çözüm üreten olmadı mı? Çözüm için sadece matematikçiler değil fizikçiler de devreye girdi. Uzay-Zaman, yakınsak seri, geometrik parçalamalar havada uçtu…
Arşimet geometrik bir çözüm yaptı. Bir tam kareyi gidilecek mesafe alarak her seferinde şekli yarısı kadar küçülttü ve sonunda ilk aldığı kare tamamlanacağından istenen noktaya da varılmış olur diye düşündü.
Arşimet’in çözümü…
Arşimet’in geometrik işlemlerini cebirsel olarak ele alan bir çözüm de gideceği yolların toplamıyla yapılabilir ve bu toplam yakınsaktır. (Bir değere yaklaşan.) Dolayısıyla ispatta aritmetik işlemlerin yapılmasında sonsuz elemanlı olan serilerin toplanması ya da çıkarılmasında sakınca görülmez. A noktasından B noktasına ulaşılacağını düşünelim ve bu yol M birim olsun.
Sonucuna ulaşırız ki bu yolun tamamlanması ve B noktasına ulaşılması demektir.
Kaynakça:
Matematik Tarihi/ Carl B. Boyer/ Doruk Yayınları
Comments